はじめに

本記事は線形空間論の勉強をしたまとめです。私の理解が誤っている可能性がありますので、その際は優しく指摘していただけると嬉しいです。

写像

「写像」というのは要するに「関数」のことである。つまり、何かが与えられたらそれを何かしらのルールに従って変換するもののことを「写像」という。

集合 $X$ の任意の元 $x$ に対して、集合 $Y$ の元を一つ対応させる規則 $f$ を写像と呼び、次のように表す。

$f: X \rightarrow Y$

また、 $x \in X$ が $y \in Y$ に対応するとき、次式のように表す。

$y = f(x)$

「写像」と「関数」の違いは何かと聞かれたら私は答えに窮する。というのも、両者にあまり違いはないからだ。

ただ、私個人の感覚では「関数」と言われた場合は「数値から数値への変換」を思い浮かべる。たとえば実数値関数（実数を実数に変換）、複素関数（複素数を複素数に変換）など。
一方で「写像」と言われた場合には、もっと一般的な変換を思い浮かべる。

まあ、「数値から数値への変換」ではない変換に対して「関数」と呼んだところで間違いだとは思わないし、だれも怒らないと思うので「写像」でも「関数」でも好きなほうで呼んでいいと思う。

さて、ここで一見写像っぽいけど写像とは呼ばない例を挙げよう。

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元に対して行先が複数あり得るもの
- (例) 正の実数から実数への写像で、平方根を対応させる規則 $f: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}$ （f(4)は2でも-2でもある。）
対応する[y \in Y]が存在しないようながあるもの
- (例) 整数から整数への写像で、逆数を対応させる規則 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ （整数の逆数が整数になるとは限らない。 $f(2) \notin \mathbb{Z}$ ）

逆に、次のようなものは写像と呼んでいい。

複数の元が同じに対応しうる()ような規則
- (例) 正の実数から正の実数への写像で、ルートをとるような規則 $f: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$
来る元が存在しないようながあるもの
- (例) 実数から実数への写像で、2乗をとるような規則 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ （[tex: y=x²]が負になる $x \in \mathbb{R}$ は存在しない）

つまり写像であるためには集合 $X$ のすべての元に対して必ず一つ対応先が定まっていることが必要なわけだ。

もしすべての元 $x \in X$ の行先がバラバラなとき（同じ $y \in Y$ に写されるような $x$ が複数存在しないとき）、その写像は単射である、という。
一方、すべての $x \in X$ を写すことで $Y$ を網羅できるとき（任意の $y$ について $y = f(x)$ となる $x \in X$ が存在するとき）、その写像は全射である、という。