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代数学まとめノート(2) 群の例・部分群

勉強 勉強-代数学

はじめに

本記事は私が代数学を勉強した際のまとめノートです。 誤りを含む可能性はございますが、ご了承ください。
またその際は、コメントにて指摘いただければ幸いです。

群の例

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例(3)は正則行列だから逆行列が定義できることがキモだ。

部分群

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線形代数を勉強した人は「部分空間」という言葉を知っているかもしれないが、それの群バージョンだ。

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なお、(iii)⇒(i)において (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)は、 Gで満たされているので Hでも満たされる。

部分群の例

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積を定義された0以外の整数/有理数/実数全体も同様の関係にある。

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例(3)はモノの回転や変形を扱う人にとっては重要な群たちだ。

  • GL(n, \mathbb{R})にはモノの回転、反転、引き延ばしなどを表現する行列が含まれる
  • O(n)にはモノの回転、反転を表現する行列が含まれる

ちなみに SO(n)（特殊直交群 / special orthogonal group）というのもあって、これは[tex: AT A = I]かつ det(A)=1を満たす n次元実正則行列全体である。

  • SO(n)にはモノの回転を表現する行列が含まれる

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参考文献

代数学〈1〉群と環 (大学数学の入門)

代数学〈1〉群と環 (大学数学の入門)

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